§7.正定二次型
一.1.二次型正定性的概念
定義11 設(shè)有二次型?=x1Ax，若對(duì)任何x≠0，都有?>0，則稱?為正定二次型，并稱對(duì)稱矩陣A是正定矩陣，記為A>0；對(duì)任何x≠0，都有?<0，則稱?為負(fù)定二次型，并稱對(duì)稱矩陣A是負(fù)定矩陣，記為A＜0。
2.二次型正定性的判定
定理12 實(shí)二次型?=x1Ax為正定二次型的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)全為正數(shù)。
推論 對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全為正數(shù)。
定理13 對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的各階順序主子式全大于零，即
對(duì)稱矩陣A為負(fù)定矩陣的充分必要條件是A的奇數(shù)階順序主子式全小于零，而偶數(shù)階的順序主子式全大于零，
正定矩陣一定是可逆矩陣
3.正定二次型的幾何意義
1）二維正定二次型?（x，y）=c（c＞0為常數(shù)）是以原點(diǎn)為中心的橢圓。
當(dāng)c為任意常數(shù)時(shí)，?是一族橢圓，當(dāng)c=0時(shí)，這些橢圓收縮到原點(diǎn)。
2）三維正定二次型?（x，y，z）=c（c＞0)是一族橢球。